雑学
３次方程式の解の公式の見付け方
ax3 + bx2 + cx + d = 0
２乗の項を消すために変形すると、
x3 + (b/a)x2 + (c/a)x + d/a = 0
(x + b/(3a))3 - 3x2b/(3a) - 3xb2/(9a2) - b3/(27a3) + (b/a)x2 + (c/a)x + d/a = 0
(x + b/(3a))3 - ( b/ a)x2 - ( b2/(3a2))x - b3/(27a3) + (b/a)x2 + (c/a)x + d/a = 0
(x + b/(3a))3 - ( b2/(3a2))x - b3/(27a3) + (c/a)x + d/a = 0
(x + b/(3a))3 + ((3ac - b2)/(3a2)) x + (27a2d - b3)/(27a3) = 0
(x + b/(3a))3 + ((3ac - b2)/(3a2))(x + b/(3a)) - (3abc - b3)/(9a3) + (27a2d - b3)/(27a3) = 0
(x + b/(3a))3 + ((3ac - b2)/(3a2))(x + b/(3a)) + (27a2d - 9abc + 2b3)/(27a3) = 0
x + b/(3a) を y とおくと、
y3 + ((3ac - b2)/(3a2))y + (27a2d - 9abc + 2b3)/(27a3) = 0
２乗の項が消えた。
見やすくするために、(3ac - b2)/(3a2) を p、(27a2d - 9abc + 2b3)/(27a3) を q と記述すると、
y3 + py + q = 0
y = u + v とおき、以下の式を満たすような u と v の対をすべて求める。
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0
変形すると、
u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + p(u + v) + q = 0
u3 + 3uv(u + v) + v3 + p(u + v) + q = 0
(u3 + v3 + q) + (3uv + p)(u + v) = 0 ‥‥‥ (A)
要するに、(A)を満たすような u と v の対をすべて求める。
そこで、まず、以下の式を満たすような u と v の対をすべて求め、
次に、すべての対について u + v を計算して列挙すると３パターンあることを確かめる。
（以下の式を満たすものをすべて挙げたというだけでは(A)を満たすものがすべて見付かったとは言い切れないので
（以下の式を満たさなくても(A)を満たすものがあり得るので）、３パターンあることを確かめる必要がある。）
（なぜ３パターンだけでいいかというと、３次方程式の解は３つしかないから。）
u3 + v3 + q = 0 かつ 3uv + p = 0
整理すると、
u3 + v3 = - q かつ uv = - p/3 ‥‥‥ (B)
要するに、まず、(B)を満たすような u と v の対をすべて求め、
次に、すべての対について u + v を計算して列挙すると３パターンあることを確かめる。
そのためには、
まず、以下の式を満たすような u と v の対をすべて求めてそれらの中から(B)も満たすものだけを採用し、
次に、採用したすべての対について u + v を計算して列挙すると３パターンあることを確かめればよい。
v3 + u3 = - q かつ (uv)3 = (- p/3)3
整理すると、
v3 = - u3 - q かつ u3v3 = - (p/3)3 ‥‥‥ (C)
要するに、
まず、(C)を満たすような u と v の対をすべて求めてそれらの中から(B)も満たすものだけを採用し、
次に、採用したすべての対について u + v を計算して列挙すると３パターンあることを確かめればよい。
そこで、(C)を満たすような u を求め、各 u に対して(B)を満たすような v を求める。
v3 = - u3 - q を u3v3 = - (p/3)3 に代入すると、
u3(- u3 - q) = - (p/3)3
u3( u3 + q) = (p/3)3
(u3)2 + q(u3) = (p/3)3
(u3)2 + q(u3) + (q/2)2 = (q/2)2 + (p/3)3
(u3 + q/2)2 = (q/2)2 + (p/3)3
u3 + q/2 = ±√((q/2)2 + (p/3)3)
u3 = - q/2 + √((q/2)2 + (p/3)3) または u3 = - q/2 - √((q/2)2 + (p/3)3)
見やすくするために、- q/2 + √((q/2)2 + (p/3)3) を s、- q/2 - √((q/2)2 + (p/3)3) を t と記述すると、
u3 = s または u3 = t
一般に、z3 = r を満たすような z すなわち r の立方根は３つあり、それらの間には下図の関係が成り立つ。
×ω
立方根 ―――→ 立方根
↑ ｜
｜ ｜
―― 立方根 ←―
×ω ×ω
ただし、ω = (- 1 + i√3)/2
どれでもいいからどれか１つを z0 と記述すると、立方根は z0, z0ω, z0ω2 の３つである。
s の立方根のどれか１つを f、t の立方根のどれか１つを g と記述すると、
(C)を満たすような u は以下の６つである。
f, fω, fω2, g, gω, gω2
ここで、以下の点に着目する。
(fg)3 = f3g3 = st
= (- q/2 + √((q/2)2 + (p/3)3))(- q/2 - √((q/2)2 + (p/3)3))
= (q/2)2 - ((q/2)2 + (p/3)3) = - (p/3)3 = (- p/3)3
fg = (- p/3)ωn
- p/3 = fgω-n
ただし、n は 0, 1, 2 の中のどれなのかはわからないが、どれか特定の値。
n がどの値になるかは、立方根のどれを f や g と記述したのかに依存する。
この点を踏まえて、各 u に対して uv = - p/3 すなわち v = (- p/3)/u を満たすような v を求めると、
u = f のとき v = (- p/3)/ f = fgω-n/ f = gω-n
u = fω のとき v = (- p/3)/(fω ) = fgω-n/(fω) = gω-n/ω
u = fω2 のとき v = (- p/3)/(fω2) = fgω-n/(fω2) = gω-n/ω2
u = g のとき v = (- p/3)/ g = fgω-n/ g = fω-n
u = gω のとき v = (- p/3)/(gω ) = fgω-n/(gω) = fω-n/ω
u = gω2 のとき v = (- p/3)/(gω2) = fgω-n/(gω2) = fω-n/ω2
これらの u と v の対は(C)を満たすので、u3 + v3 = - q を満たすのは自明である。
よって、(B)を満たすような u と v の対は、これらの６つである。
よって、(A)を満たすような u と v の対は、最低でも６つある。
この結果から、y3 + py + q = 0 を満たすような y すなわち u + v が、最低でも６パターンある
かのように見える。
ところが、gω-n を h と記述すると、(A)を満たすような u と v の対は、
u = f のとき v = gω-n = h
u = fω のとき v = gω-n/ω = h/ω
u = fω2 のとき v = gω-n/ω2 = h/ω2
u = hωn のとき v = fω-n = f/ωn ‥‥ (ア)
u = hωn+1 のとき v = fω-n/ω = f/ωn+1 ‥‥ (イ)
u = hωn+2 のとき v = fω-n/ω2 = f/ωn+2 ‥‥ (ウ)
であるが、n は 0, 1, 2 の中のどれかなので、場合分けして（さらに ω3 = 1 という関係を利用して）、
n = 0 のときは ωn = 1 、ωn+1 = ω 、ωn+2 = ω2 であることに着目して (ア)(イ)(ウ) の順のままにし、
n = 1 のときは ωn = ω 、ωn+1 = ω2 、ωn+2 = 1 であることに着目して (ウ)(ア)(イ) の順に並べ替え、
n = 2 のときは ωn = ω2 、ωn+1 = 1 、ωn+2 = ω であることに着目して (イ)(ウ)(ア) の順に並べ替えると、
n がどの値であっても、つまり、立方根のどれを f や g と記述したとしても、
結果は同じになり、以下のようになる。
u = f のとき v = h = h
u = fω のとき v = h/ω = hω2
u = fω2 のとき v = h/ω2 = hω
u = h のとき v = f = f
u = hω のとき v = f/ω = fω2
u = hω2 のとき v = f/ω2 = fω
よって、y3 + py + q = 0 を満たすような y すなわち u + v は以下の６つになる。
（立方根のどれを f や g と記述したとしてもそうなる。）
f + h , fω + hω2 , fω2 + hω , h + f , hω + fω2 , hω2 + fω
ところが、これらの中の
１つ目と４つ目は同じ値、２つ目と６つ目は同じ値、３つ目と５つ目は同じ値なので、
実際には以下の３パターンしかない。
f + h , fω + hω2 , fω2 + hω
- p/3 = fgω-n であり、また gω-n を h と記述したことから、
- p/3 = fh すなわち h = - p/(3f) であることがわかるので、以下のように書ける。
f - p/(3f) , fω - (p/(3f))ω2 , fω2 - (p/(3f))ω
３次方程式の解は全部で３つなので、y3 + py + q = 0 を満たすような y は、これですべてである。
x + b/(3a) を y とおいたことから、x = y - b/(3a) であることがわかるので、
ax3 + bx2 + cx + d = 0 の解は、以下の３つである。
- b/(3a) + f - p/(3f) , - b/(3a) + fω - (p/(3f))ω2 , - b/(3a) + fω2 - (p/(3f))ω
したがって、ax3 + bx2 + cx + d = 0 の解の公式は、以下のようになる。
- b/(3a) + f - p/(3f) , - b/(3a) + fω - (p/(3f))ω2 , - b/(3a) + fω2 - (p/(3f))ω
だたし、f は - q/2 + √((q/2)2 + (p/3)3) の立方根のどれか１つ
p = (3ac - b2)/(3a2)
q = (27a2d - 9abc + 2b3)/(27a3)