制動距離が以下の式で求まる理由を説明する。
v
c＜0 の場合、
(1／k)( ln(cos ((√(ka))t
2)) - ln(cos((√(ka))t
1))) + v
c(t
2 - t
1)
ただし、
t
1 = (1／(√(ka)))arctan ((√(k／a))(v
c - v
0))
t
2 = (1／(√(ka)))arctan ((√(k／a)) v
c )
v
c≧0 の場合、
(1／k)(- ln(cosh((√(ka))t
2)) - ln(cos((√(ka))t
1))) + v
c(t
2 - t
1)
ただし、
t
1 = (1／(√(ka)))arctan ((√(k／a))(v
c - v
0))
t
2 = (1／(√(ka)))arctanh((√(k／a)) v
c )
ここでは、速度が v
c のときの時刻を 0 とする。
まず、v
c＜0 の場合の制動距離を求める。
時刻 t のときの速度は、以下の式で求まる（理由は後で説明）。
(√(a／k))tan (- (√(ka))t) + v
c
ブレーキ開始時刻 t
1 を求めると、
(√(a／k))tan(- (√(ka))t
1) + v
c = v
0
(√(a／k))tan(- (√(ka))t
1) = v
0 - v
c
tan(- (√(ka))t
1) = (√(k／a))(v
0 - v
c)
- (√(ka))t
1 = arctan((√(k／a))(v
0 - v
c))
t
1 = - (1／(√(ka)))(arctan((√(k／a))(v
0 - v
c)))
t
1 = (1／(√(ka)))arctan((√(k／a))(v
c - v
0))
停止時刻 t
2 を求めると、
(√(a／k))tan(- (√(ka))t
2) + v
c = 0
(√(a／k))tan(- (√(ka))t
2) = - v
c
tan(- (√(ka))t
2) = (√(k／a))(- v
c)
- (√(ka))t
2 = arctan((√(k／a))(- v
c))
t
2 = - (1／(√(ka)))(arctan((√(k／a))(- v
c)))
t
2 = (1／(√(ka)))arctan((√(k／a)) v
c )
制動距離は、速度を t で t
1 から t
2 まで定積分することで求まる。
速度を t で不定積分すると、
(1／k)ln|cos ((√(ka))t)| + v
ct + C
L
ただし、C
L は積分定数。
になる（理由は後で説明）から、制動距離は、以下の式で求まる。
((1／k)ln|cos((√(ka))t
2)| + v
ct
2))
- ((1／k)ln|cos((√(ka))t
1)| + v
ct
1))
= (1／k)(ln|cos((√(ka))t
2)| - ln|cos((√(ka))t
1)|) + v
c(t
2 - t
1)
(√(ka))t1 と (√(ka))t2 は arctan の結果だから、
|(√(ka))t1|＜π/2 かつ |(√(ka))t2|＜π/2 なので、
cos((√(ka))t1)＞0 かつ cos((√(ka))t2)＞0 となり、制動距離は、結局、以下の式で求まる。
(1／k)(ln(cos((√(ka))t
2)) - ln(cos((√(ka))t
1))) + v
c(t
2 - t
1)
次に、v
c≧0 の場合の制動距離を求める。
時刻 t のときの速度は、以下の式で求まる（理由は後で説明）。
v≧v
c のとき、(√(a／k))tan (- (√(ka))t) + v
c
v＜v
c のとき、(√(a／k))tanh(- (√(ka))t) + v
c
ブレーキ開始時刻 t
1 を求めると、
(√(a／k))tan(- (√(ka))t
1) + v
c = v
0
(√(a／k))tan(- (√(ka))t
1) = v
0 - v
c
tan(- (√(ka))t
1) = (√(k／a))(v
0 - v
c)
- (√(ka))t
1 = arctan((√(k／a))(v
0 - v
c))
t
1 = - (1／(√(ka)))(arctan((√(k／a))(v
0 - v
c)))
t
1 = (1／(√(ka)))arctan((√(k／a))(v
c - v
0))
停止時刻 t
2 を求めると、
(√(a／k))tanh(- (√(ka))t
2) + v
c = 0
(√(a／k))tanh(- (√(ka))t
2) = - v
c
tanh(- (√(ka))t
2) = (√(k／a))(- v
c)
- (√(ka))t
2 = arctanh((√(k／a))(- v
c))
t
2 = - (1／(√(ka)))(arctanh((√(k／a))(- v
c)))
t
2 = (1／(√(ka)))arctanh((√(k／a)) v
c )
制動距離は、速度を t で t
1 から t
2 まで定積分することで求まる。
速度を t で不定積分すると、
v≧v
c のとき、 (1／k)ln|cos ((√(ka))t)| + v
ct + C
L
ただし、C
L は積分定数。
v＜v
c のとき、- (1／k)ln|cosh((√(ka))t)| + v
ct + C
L
ただし、C
L は積分定数。
になる（理由は後で説明）から、制動距離は、以下の式で求まる。
(((1／k)ln|cos(0)|) - ((1／k)ln|cos((√(ka))t
1)| + v
ct
1))
+ ((- (1／k)ln|cosh((√(ka))t
2)| + v
ct
2) - (- (1／k)ln|cosh(0)|))
= (1／k)(- ln|cosh((√(ka))t
2)| + ln|cosh(0)| + ln|cos(0)| - ln|cos((√(ka))t
1)|)
+ v
c(t
2 - t
1)
= (1／k)(- ln|cosh((√(ka))t
2)| + ln|1| + ln|1| - ln|cos((√(ka))t
1)|) + v
c(t
2 - t
1)
= (1／k)(- ln|cosh((√(ka))t
2)| - ln|cos((√(ka))t
1)|) + v
c(t
2 - t
1)
(√(ka))t1 は arctan の結果だから |(√(ka))t1|＜π/2 なので、cos((√(ka))t1)＞0 となり、
また、cosh((√(ka))t2)＞0 だから、制動距離は、結局、以下の式で求まる。
(1／k)(- ln(cosh((√(ka))t
2)) - ln(cos((√(ka))t
1))) + v
c(t
2 - t
1)
時刻 t の速度が以下の式で求まる理由を説明する。
v≧v
c のとき、(√(a／k))tan (- (√(ka))t) + v
c
v＜v
c のとき、(√(a／k))tanh(- (√(ka))t) + v
c
まず、v≧v
c のときの速度を求める。
a, k, v
c, v, t の間には、以下の微分方程式が成り立つ。
dv／dt = - k(v - v
c)
2 - a
v = (√(a／k))w + v
c とおくと、
(d／dt)((√(a／k))w + v
c) = - k((√(a／k))w)
2 - a
(d／dt)((√(a／k))w) = - k(a／k)w
2 - a
(√(a／k))(dw／dt) = - aw
2 - a
(√(a／k))(dw／dt) = - a(1 + w
2)
(1／(1 + w
2))(dw／dt) = - a／(√(a／k))
(1／(1 + w
2))(dw／dt) = - √(ka)
∫(1／(1 + w
2))(dw／dt)dt = ∫(- (√(ka)))dt
∫(1／(1 + w
2))dw = - (√(ka))∫dt
arctan(w) + C
1 = - (√(ka))(t + C
2)
arctan(w) = - (√(ka))t - (√(ka))C
2 - C
1
- (√(ka))C
2 - C
1 を C で表すと、
arctan(w) = - (√(ka))t + C
arctan(w) = C - (√(ka))t
w = tan(C - (√(ka))t)
先ほど v = (√(a／k))w + v
c とおいたから、それに上の結果を代入すると、
v = (√(a／k))tan(C - (√(ka))t) + v
c
t = 0 のとき v = v
c だから、
(√(a／k))tan(C - (√(ka))・0) + v
c = v
c
(√(a／k))tan(C) = 0
tan(C) = 0
C = 0
次に、v＜v
c のときの速度を求める。
a, k, v
c, v, t の間には、以下の微分方程式が成り立つ。
dv／dt = k(v - v
c)
2 - a
v = (√(a／k))w + v
c とおくと、
(d／dt)((√(a／k))w + v
c) = k((√(a／k))w)
2 - a
(d／dt)((√(a／k))w) = k(a／k)w
2 - a
(√(a／k))(dw／dt) = aw
2 - a
(√(a／k))(dw／dt) = - a(1 - w
2)
(1／(1 - w
2))(dw／dt) = - a／(√(a／k))
(1／(1 - w
2))(dw／dt) = - √(ka)
∫(1／(1 - w
2))(dw／dt)dt = ∫(- (√(ka)))dt
∫(1／(1 - w
2))dw = - (√(ka))∫dt
arctanh(w) + C
1 = - (√(ka))(t + C
2)
arctanh(w) = - (√(ka))t - (√(ka))C
2 - C
1
- (√(ka))C
2 - C
1 を C で表すと、
arctanh(w) = - (√(ka))t + C
arctanh(w) = C - (√(ka))t
w = tanh(C - (√(ka))t)
先ほど v = (√(a／k))w + v
c とおいたから、それに上の結果を代入すると、
v = (√(a／k))tanh(C - (√(ka))t) + v
c
t = 0 のとき v = v
c だから、
(√(a／k))tanh(C - (√(ka))・0) + v
c = v
c
(√(a／k))tanh(C) = 0
tanh(C) = 0
C = 0
速度を t で不定積分すると以下の式になる理由を説明する。
v≧v
c のとき、 (1／k)ln|cos ((√(ka))t)| + v
ct + C
L
ただし、C
L は積分定数。
v＜v
c のとき、- (1／k)ln|cosh((√(ka))t)| + v
ct + C
L
ただし、C
L は積分定数。
まず、v≧v
c のときの速度 v を t で不定積分した結果を求める。
∫vdt
= ∫((√(a／k))tan(- (√(ka))t) + v
c)dt
= (√(a／k))∫tan(- (√(ka))t)dt + v
c∫dt
t = - θ／(√(ka)) とおくと、
∫vdt
= (√(a／k))∫tan(θ)dt + v
c∫dt
= (√(a／k))∫tan(θ)(dt/dθ)dθ + v
c∫dt
= (√(a／k))∫tan(θ)(- 1／(√(ka)))dθ + v
c∫dt
= - ((√(a／k))／(√(ka)))∫tan(θ)dθ + v
c∫dt
= - (1／k)∫tan(θ)dθ + v
c∫dt
= - (1／k)(- ln|cos(θ)| + C
3) + (v
ct + C
4)
= (1／k)ln|cos(θ)| + v
ct + C
4 - (1／k)C
3
C
4 - (1／k)C
3 を C
L で表すと、
∫vdt
= (1／k)ln|cos(θ)| + v
ct + C
L
先ほど t = - θ／(√(ka)) とおいたから、θ = - (√(ka))t なので、
∫vdt
= (1／k)ln|cos(- (√(ka))t)| + v
ct + C
L
= (1／k)ln|cos( (√(ka))t)| + v
ct + C
L
次に、v＜v
c のときの速度 v を t で不定積分した結果を求める。
∫vdt
= ∫((√(a／k))tanh(- (√(ka))t) + v
c)dt
= (√(a／k))∫tanh(- (√(ka))t)dt + v
c∫dt
t = - θ／(√(ka)) とおくと、
∫vdt
= (√(a／k))∫tanh(θ)dt + v
c∫dt
= (√(a／k))∫tanh(θ)(dt/dθ)dθ + v
c∫dt
= (√(a／k))∫tanh(θ)(- 1／(√(ka)))dθ + v
c∫dt
= - ((√(a／k))／(√(ka)))∫tanh(θ)dθ + v
c∫dt
= - (1／k)∫tanh(θ)dθ + v
c∫dt
= - (1／k)(ln|cosh(θ)| + C
3) + (v
ct + C
4)
= - (1／k)ln|cosh(θ)| + v
ct + C
4 - (1／k)C
3
C
4 - (1／k)C
3 を C
L で表すと、
∫vdt
= - (1／k)ln|cosh(θ)| + v
ct + C
L
先ほど t = - θ／(√(ka)) とおいたから、θ = - (√(ka))t なので、
∫vdt
= - (1／k)ln|cosh(- (√(ka))t)| + v
ct + C
L
= - (1／k)ln|cosh( (√(ka))t)| + v
ct + C
L