和書 492168 (196)
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教養の数学・計算機
販売元： 東京大学出版会
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教養の数学28講
販売元： 東京図書
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教養の線形代数
販売元： 培風館
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教養の線形代数
販売元： 培風館
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教養の線形代数
販売元： 培風館
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ディラック作用素の指数定理
販売元： 共立出版
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微分多様体上の解析とトポロジーに関する最も素晴らしい定理の一つに、「Atiyah-Singer指数定理」があるが、その証明を述べた和書の成書は久しくなかった。本書はこのAtiyah-Singer指数定理の待望の（本邦初の）解説書である。
先ず、主題への準備として、ファイバー束とその接続、特性類、及び一般化ラプラシアンと熱核、についてのコンパクトな解説に続き、クリフォード加群やスピノル群／表現が導入され、クリフォード加群上のクリフォード接続に対し、ディラック作用素Dが定義される。本書の目標である「局所指数定理」は、ディラック作用素の指数ind(D)が一般化ラプラシアンであるDの平方（D２）の超トレースから求められる、というマッキーン・シンガーの公式を、実際にD２の熱核に適用して得られるものである。
このあたりの議論で最も重要なのは、「任意のクリフォード加群Eは係数空間Wとスピノル空間Sとのテンソル積W＊Sに同型である」、という事実である。これから、クリフォード接続の曲率の分解定理、及び一般化ラプラシアンであるD２をクリフォード接続に関するラプラス作用素⊿、係数曲率、底空間Mのスカラー曲率RＭ、の各々の和で表すリヒネロビッチの公式が得られる。この議論は、ワイツェンベック・ボホナー テクニックとみなせる。本書の主目標である局所指数定理のAtiyah-Singerによる定式化は、「Dの指数ind(D)がMのA^形式と係数バンドルW（＝E/S）のチャーン指標の積分で表される」、というものである（定理7.17）。
本書の最後に、指数定理の幾何学への応用として、ガウス・ボンネの定理やリーマン・ロッホの定理など最も基本的で重要な4つの例が述べられている。指数定理からこれらの著名な諸定理が系統的に導かれる事を知れば、その素晴らしい偉力に深い感銘を受けられるものと思う。
リーマンゼータ函数と保型波動 (共立講座 21世紀の数学)
販売元： 共立出版
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数学は科学の女王、数論は数学の女王。ガウスの言葉によれば。
そして数論とはζ関数の研究と言われるぐらいζは要である。
ここに本当の知がある。
ルベーグ積分から確率論 (共立講座 21世紀の数学)
販売元： 共立出版
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本書はルベーグ積分の観点から確率論の基礎と統計学やランダムウォーク（Markov連鎖モデルや投票者モデルを含む）の理論に関する応用例を紹介したものであり，[ASIN:4320014731 測度から確率へ―はじめての確率論]と同趣旨のものである．
良くも悪くも数学のテキストらしく，各章は簡潔かつ美しくまとめられてはいるが，いわゆる行間の空白が大きい．確かに，これを自らの力で埋めていくという作業は数学を学ぶ上で大切なことであり，この苦行を乗り越えてこそ読者はスキルアップしていくわけではあるが，時間的余裕のない者に本書はあまりお勧めできない．むしろ，講義，セミナー等におけるテキストとして活用するのがよいと思われる．
本書を読んだ後，例えば[ASIN:4431708650 マルコフ連鎖から格子確率モデルへ―現代確率論の基礎と応用]を読むことによりMarkov連鎖モデルに対する理解が一層深まるであろう．
代数多様体論 (共立講座 21世紀の数学)
販売元： 共立出版
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共立講座21世紀の数学 (16) ヒルベルト空間と量子力学
販売元： 共立出版
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最近は、日本語で書かれた関数解析から量子物理学へとつながる本が数多く出版されるようになったが、それもこれも、この「ヒルベルト空間と量子力学」に負うところが大きいであろう。もちろん、それ以前にも、V・ノイマンやボゴリューボフ、サイモン＆リードらの手による数理物理学の本は出版されていたが、どれも、初心者には難しすぎたり、記述が中途半端であったりと、これといった決定版がなかった。この本は、その意味で、記念碑的本であると思う。この本を読破すれば、後は、独学で、もうすこしレベルの高い本に挑むことが出来る。
この本の良いところは、論述と証明の丁寧さ、演習問題の豊富さ（解答付き）にある。啓蒙書に飽き足らない入門者には、是非お勧めする。ただ、関数解析全般の知識を得ようとするには、コンパクト作用素やバナッハ空間などが省かれているので、別の本が必要である。四つ星としたのは、そういう理由からで、そのほかの内容に関していえば、とても行き届いた本であると思う。